- Ce sunt vectorii și cum se definesc?
- Tipuri de vectori
- Operațiile cu vectori
- Formule pentru vectori
- Regula paralelogramului și aplicațiile sale
Vectorii sunt entități fundamentale în matematică, aceștia fiind esențiali în analiza geometrică, precum și în diverse alte aplicații. Un vector este un obiect care poate fi reprezentat printr-o săgeată cu direcție, sens, dar și lungime, având aplicații variate în geometrie, fizică, precum și în alte domenii ale matematicii. Există așadar mai multe lucruri pe care oricine ar trebui să le cunoască despre acești vectori în matematică.
Ce sunt vectorii și cum se definesc?
Un vector poate fi definit pe scurt ca o mărime matematică, acesta având două caracteristici și anume modulul său (lungimea) și direcția. Ținând cont de planul euclidian, vectorul e reprezentat printr-o săgeată care indică lungimea și sensul său. Ei se folosesc pentru a descrie atât mărimi fizice, cum ar fi forțele sau viteza, cât și fenomene geometrice precum distanțele dintre puncte.
În ceea ce privește acești vectori la clasa a 9-a, ei reprezintă de fapt o introducere în această noțiune, formând baza pentru studiile viitoare în ceea ce privește geometria analitică, dar și algebra vectorială.
Tipuri de vectori
Vectori de poziție
Un astfel de vector este un vector care pleacă dintr-o origine și ajunge într-un punct din plan sau din spațiu. El reprezintă poziția unui punct relativ la origine, fiind foarte important atât în trigonometrie, cât și în geometrie. Vectorii de poziție sunt utilizați pentru a descrie în primul rând locația unui punct într-un sistem de coordonate.
Vectori opuși
Vectorii opuși sunt vectori care au aceeași lungime, dar direcțiile lor sunt opuse. Aceștia se obțin prin schimbarea sensului unui vector. Fiind extrem de esențiale, operațiile cu vectori opuși sunt folosite în a înțelege conceptele de adunare, dar și de scădere a vectorilor. Suma unui vector cu vectorul său opus dă un vector nul mereu.
Operațiile cu vectori
Adunarea vectorilor
Adunarea vectorilor este una dintre operațiile de bază în geometrie. Pentru a se aduna doi vectori se utilizează regula triunghiului sau regula paralelogramului. Conform regulii triunghiului vectorilor, vectorii se adună plasându-i „cap în coadă” (și anume capătul unui vector coincide cu începutul celui de-al doilea vector). Suma a doi vectori este un vector care duce de la începutul primului vector până la capătul celui de-al doilea.
În schimb, dacă este să vorbim despre regula paralelogramului vectorilor, aceasta presupune plasarea a doi vectori, astfel încât aceștia să formeze două laturi adiacente unui paralelogram. Diagonala acestuia va fi suma vectorilor. Aceasta este o metodă grafică, dar și simplă de a aduna vectori în plan.
Suma vectorilor
Suma vectorilor reprezintă rezultatul adunării a doi sau mai mulți vectori. Suma a doi vectori cu direcții opuse va produce un vector cu un modul nul sau chiar mai mic.
Citește mai mult: Ce este o fracție?
Formule pentru vectori
Calcularea modulului unui vector se poate realiza folosind formula standard din geometrie. Dacă un vector 𝑣 are componentele (𝑥, 𝑦) în planul 2D, atunci modulul vectorului se calculează:
|V|=
Această formulă este una esențială în ceea ce privește determinarea lungimii unui vector, ea având aplicații în multe domenii ale matematicii.
Regula paralelogramului și aplicațiile sale
Regula paralelogramului este un principiu geometric important, ea ajutând la adunarea vectorilor. Suma vectorilor poate fi obținută desenând un paralelogram.
Această regulă este importantă mai ales atunci când vorbim despre situația unor vectori reprezentați grafic. Ea ajută la înțelegerea relațiilor dintre vectori în plan.
Modulul vectorului și calcularea acestuia
Modulul vectorului este o mărime scalară, el reprezentând lungimea unui vector. Modulul unui vector este mereu un număr pozitiv, el fiind esențial pentru efectuarea calculului distanțelor.
Vectori în triunghi
Vectorii în triunghi sunt un alt concept important în geometrie. Acest concept descrie relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi. Acești vectori sunt folosiți la problemele de geometrie analitică.
Concluzie
Vectorii în matematică sunt un subiect versatil, atât în geometrie, cât și în fizică și inginerie. Înțelegerea sumei vectorilor, a vectorilor de poziție, precum și a vectorilor opuși este așadar un lucru foarte important.